벡터 공간(vector space)은 수학의 선형 대수학에서 중요한 개념으로, 벡터의 집합이 특정한 성질을 만족하는 구조를 의미한다. 벡터 공간은 주로 실수나 복소수와 같은 필드(field) 위에서 정의된다.

벡터 공간은 다음과 같은 두 가지 연산을 포함한다. 첫째, 벡터의 덧셈(vector addition)이다. 두 번째, 스칼라 곱(scalar multiplication)이다. 이 두 연산은 벡터 공간의 두 원소를 조합하여 새로운 원소를 생성하는 방법을 제공한다.

벡터 공간 V는 다음과 같은 공리(axioms)를 만족해야 한다:

1. 덧셈의 결합 법칙: 임의의 벡터 u, v, w ∈ V에 대해, (u + v) + w = u + (v + w)이 성립한다.

2. 덧셈의 교환 법칙: 임의의 벡터 u, v ∈ V에 대해, u + v = v + u이다.

3. 덧셈의 항등원 존재: 존재하는 벡터 0 ∈ V가 있어, 임의의 벡터 v ∈ V에 대해 v + 0 = v가 성립한다.

4. 덧셈의 역원 존재: 임의의 벡터 v ∈ V에 대해, v에 대한 역원 -v가 존재하여 v + (-v) = 0이 성립한다.

5. 스칼라 곱의 결합 법칙: 임의의 스칼라 a, b와 벡터 v ∈ V에 대해, a(bv) = (ab)v가 성립한다.

6. 스칼라 곱의 항등 원소: 스칼라 1과 임의의 벡터 v ∈ V에 대해, 1v = v가 성립한다.

7. 스칼라 분배 법칙: 임의의 스칼라 a, b와 벡터 v ∈ V, w ∈ V에 대해, a(v + w) = av + aw, (a + b)v = av + bv가 성립한다.

8. 벡터 분배 법칙: 임의의 스칼라 a와 벡터 v ∈ V, w ∈ V에 대해, a(v + w) = av + aw가 성립한다.

벡터 공간은 다양한 예를 통해 실례로 이해할 수 있다. 예를 들어, n차원 유클리드 공간 ℝ^n은 n차원의 실수 벡터 공간의 한 예이다. 이 외에도 다항식의 집합, 함수의 집합, 매트릭스의 집합 등도 벡터 공간으로 생각할 수 있다.

벡터 공간의 개념은 선형 변환(linear transformation) 및 기저(basis), 차원(dimension)과 같은 선형 대수의 다른 핵심 개념과 밀접하게 연결되어 있다. 이러한 구조적 특성 덕분에 벡터 공간은 물리학, 공학, 컴퓨터 과학 및 경제학 등 다양한 분야에서 응용되고 있다.